I.    Aperçu des modèles logit :

 

Les modèles logit polytomiques non ordonnés constituent une famille de modèles économétriques adaptés au cas où la variable à expliquer est une variable qualitative, dont les modalités ne peuvent être classées les unes par rapport aux autres. Il en est ainsi, par exemple, de la catégorie socioprofessionnelle, du mode de transport, du statut d’occupation du logement, du lieu de résidence, etc.

 

1.     Le modèle logit multinomial :

 

On observe un échantillon de n individus, répartis en J catégories disjointes. Chaque individu i appartient à une catégorie j parmi les J possibles. Il est décrit par un ensemble de K caractéristiques  x _i1, x_i2, …, x_iK  (par exemple son âge, sexe, niveau d’études, etc.).

Le modèle est construit sur l’idée suivante. La probabilité que l’individu i, compte tenu de ses caractéristiques x_ik, fasse partie de la catégorie j est supposée dépendre des x_ik, ou, plus précisément, d’une combinaison linéaire des x_ik. Formellement, cela s’écrit :

P (j/x_i) = G (β_0j   + β_1jx_i1  + β_2jx_i2 + … + β_kjx_ik) = G (x_i β_j)

Pour j = 1, 2, …, J. Le vecteur x_i  = (1x_i1 x_i2…x_ik) est le vecteur (ligne) des variables explicatives du modèle. Sa première composante vaut systématiquement 1. Elle prend en compte, dans le modèle, le fait que les catégories n’ont pas les mêmes effectifs. On remarquera que les paramètres de la combinaison linéaire dépendent de la catégorie j. On note le vecteur (colonne) de ces paramètres.

 

2.     Le modèle logit conditionnel :

 

Conformément à la terminologie adoptée en introduction, le modèle logit conditionnel a, comme variables explicatives, uniquement des caractéristiques  z_j des choix j. Il ne contient aucune variable invariante d’un choix à l’autre.

 En particulier, le modèle logit conditionnel ne contient pas la variable de terme constant. Par ailleurs, les paramètres du modèle sont indépendants du choix j.

 En reprenant la démarche utilisée pour le logit multinomial et en remplaçant formellement x_iβ_jpar z_ijβ, le modèle conditionnel s’écrit :

 

 

V_j =V_j (x ; a) + e_j

 

Les paramètres a sont considérés comme aléatoires.

 

II.    Les modèles logit, un moyen pour prévoir le risque de défaillance:

 

Dans le cas qui nous intéresse, il s’agit de connaitre la probabilité de défaillance d’une entreprise, sachant ses caractéristiques comptables et financières. Les choix de la régression logistique en tant que technique statistique doit être justifié au regard de la régression linéaire ordinaire et de l’analyse discriminante. Dans le cas de la régression linéaire, la variable dépendante est quantitative. De plus, la régression linéaire ordinaire ne peut pas être mise en œuvre si les erreurs ne sont pas distribuées normalement ou la variance des erreurs n’est pas constante. Pour contrer ces difficultés, une transformation  logit est nécessaire. Cette transformation consiste à régresser les variables explicatives non pas sur π, mais sur la variable transformée Log [π/1-π]. Le modèle s’écrit de la façon suivante :

Y = Log [(π) / (1-π)] = β₀+ β_ix_i

Avec  x_i : variables explicatives

          π : Probabilité de défaillance    

L’analyse discriminante, quant à elle, se propose de prévoir l’appartenance d’un individu à deux ou plusieurs  groupes mutuellement exclusifs. Son application nécessite la réunion de plusieurs conditions : normalité de distributions, homogénéité des matrices des variances/ covariances entre les deux groupes et absences de corrélations entre moyennes et variances. L’intérêt que présente la régression logistique, comparativement à l’analyse discriminante est d’être une méthode statistique non paramétrique qui n’impose pas la condition de normalité. Or, les donnés ne suivent pas forcément une loi normale. Ces raisons nous conduisent en définitive, à privilégier la régression logistique aux autres méthodes.